Talet  e

Kan du hitta talet  e ?

I kapitlet om Funktioner bekantade vi oss med exponentialfunktioner.    I samband med exponentialfunktioner nämnde vi talet  e.  Vi ska nu leta efter detta mystiska tal!

Uppgift
Nedan visas grafen till exponentialfunktionen   f(x) = 1,5 x
Dra  "hissen" på rullningslisten (under bilden) så kan du ändra exponentialfunktionens bas.
Kurvan går hela tiden genom punkten  ( 0 ; 1 )   Den blir brantare ju större basen är.     

Klicka kryssrutan
"Tangent i (0 ;1)" (under bilden) så visas tangenten i punkten (0;1) samt tangentens riktningskoefficient,  k.
k
-värdet  blir större ju större basen är.  Testa!

För ett visst värde på basen får  tangenten i punkten (0;1)   riktningskoefficienten k = 1
Använd rullningslisten och leta upp den basen!  (3 decimaler)
Tips: Om du kryssar "y=x+1" så ritas linjen y = x + 1 (det vill säga linjen med k=1 och m=1)  Du ska alltså hitta en bas så att tangenten och den gröna linjen sammanfaller. 
När du har hittat basen, ja, då har du hittat (ett närmevärde till) talet e
  e = 2,718

 

Tangenten till kurvan   y = e x   i punkten ( 0 ;1 ) har värdet k = 1

 

Kan man beräkna värdet på e ?
I ovanstående övning fick du bestämma ett värde på  e  med datorns hjälp.
Så här skulle man kunna räkna fram till ett värde på e


Vi har en kurva y = ax och
en linje y = x + 1 som figuren visar.

Kurvan och linjen skär varandra i
punkten ( 0; 1)  och i en punkt P
Vi kallar P:s  x-koordinat för h

P:s y-koordinat kan vi få på två sätt:
Med  y = x + 1 får vi y = h + 1 
och  med  y = ax   får vi  y = a h

Sätt dessa lika och
upphöj båda leden till 1/h

Så här alltså:
  e001.jpg (7495 bytes)

Beräkna nu värden på a med allt mindre värden på h.
Du kan åskådliggöra det hela genom att dra "hissen" på rullningslisten i figuren ovan. (Figuren kan visa värden ner till h = 0,001)
Tabellen till höger visar (Excel-)beräkningar för ännu mindre h-värden.
Vi ser att a närmar ett visst tal då h blir litet, det vill säga då den gröna linjen ovan blir tangent till kurvan i punkten (0;1).  Det talet kallar vi e.
Ett korrekt närmevärde med 10 siffror är:

   e » 2,718281828

(Lär dig utantill att e är ungefär lika med 2,718)

.

e är ett irrationellt tal. Det kan aldrig uttryckas exakt. Det kan inte uttryckas som bråk.


Talet  e  på räknedosan
Räknaren har eventuellt en speciellt tangent märkt ex annars får man slå  INV eller SHIFT och sedan  för att få  ex

För att få talet  e  ( e 1 ) skriver man 1 och trycker på knappen (eller knapparna) för ex
På vissa räknare trycker man ex   först, sedan 1:an följt av EXE eller ENTER

Uppgift
Testa din räknare. Beräkna  (4 decimaler)
e -2      0,1353

e -1      0,3679

e 0      1

e ( = e 12,7183

e 2       7,3891

e 3      20,0855


I kapitlet om Funktioner, avsnittet om exponentialfunktioner, gjorde vi en första bekantskap med talet e och med naturliga logaritmer.