Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner

En funktion av typen     f(x) =  2 x    kallas en exponentialfunktion
Det som utmärker en exponentialfunktion är att den oberoende variabeln (x) är exponent:

F1_21.gif (1595 bytes)

Ibland står det en konstant framför exponentialuttrycket, till exempel:       f(x) = 5 · 2 x

Ibland består exponenten av ett uttryck som innehåller x  
Exempel:        f(x) = 5 · 2 3x+1
Exempel:        f(x) = 2 -x

Exempel:     

a)  Beräkna   f(3)  om   f(x) =  2 x  
     f(3) =  2 3 =  2 · 2 · 2 = 8                                          Svar:  f(3) = 8


b)  Beräkna   f(3)  om   f(x) =  5 · 2 x  
     Vi beräknar exponentialuttrycket först och multiplicerar sedan med 5:

     f(3) =  5 ·  2 3 =   5 · (2 · 2 · 2)  =  5 · 8  =  40               Svar:   f(3) = 40


c)  Beräkna   f(3)  om   f(x) =  5 · 2 3x+1 
     Vi beräknar exponenten först, sedan exponentialuttrycket och multiplicerar slutligen med 5:

     f(3) =  5 ·  2 3 ·3+1 =   5 ·  2 10   =  5 · 1024  =  5120       Svar:  f(3) = 5120


d)  Beräkna   f(3)  om   f(x) =  2 -x 
    
      F1_24.jpg (4326 bytes)                              Svar:    F1_25.jpg (2387 bytes)

e)  Beräkna   f(-3)  om   f(x) =  2 -x 

  f(-3) =  2 -(-3) =    2 3   =    8                       Svar:  f(-3) = 8

 

Uppgift:     

a)  Beräkna   f(2)  om   f(x) =  3 x             
  
b)  Beräkna   f(2)  om   f(x) =  4 · 3 x        

c)  Beräkna   f(2)  om   f(x) =  4 · 3 x+2     

d)  Beräkna   f(2)  om   f(x) =  3 - x          

e)  Beräkna   f(-2)  om   f(x) =  3 - x          


Grafer till exponentialfunktioner

Exempel:     

F1_23.jpg (10755 bytes)Figuren visar grafen till funktionen  f(x) = 2x

Värdetabell:

x f(x)
-1 0,5
0 1
1 2
2 4
3 8

Funktionen är växande.

 

 

 

Exempel:     

F1_23.jpg (10755 bytes)Figuren visar kurvan   y = 3 -x    
det vill säga  grafen till funktionen  f(x) = 3 -x

Värdetabell:

x f(x)
-3 27
-2 9
-1 3
0 1
1 1/3
2 1/9

Funktionen är  avtagande.

 

 

 

Exempel:     

F1_23.jpg (10755 bytes)Figuren visar kurvan   y  = 10x
grafen till funktionen  f(x)  = 10x

Värdetabell:

x f(x)
-2 0,01
-1 0,1
0 1
1 10
2 100

Funktionen är växande.

 

 

 

expfilm.gif (92599 bytes)


Logaritmer

Alla positiva tal kan skrivas som ett potensuttryck med basen 10.

Exempel:     

Talet   1000   kan skrivas   103

Talet   100   kan skrivas    102

Talet   10   kan skrivas      101

Talet   1   kan skivas          100

Talet   0,1   kan skrivas    10-1

 

Uppgift:     

a)   Skriv talet   10000   som en potens av 10  

b)   Skriv talet   0,01   som en potens av 10     
 

 

Här är en viktig definition:

Den exponent som man upphöjer 10 till för att få ett visst tal kallas 10-logaritmen för det önskade talet

 

Exempel:     
10-logaritmen för talet   1000   är   3    eftersom 1000 = 103     

Beteckningen för  "10-logaritm"  är   lg   ( eller ibland log )

"10-logaritmen för talet  1000  är  3"     skrivs    lg 1000 = 3


Exempel:
 
10-logaritmen för talet   10   är   1  eftersom 10 = 101                 lg 10 = 1


Exempel:
 
10-logaritmen för talet   0,1   är  -1  eftersom 0,1 = 10 -1              lg 0,1 = -1

 

Uppgift:     

a) Bestäm  lg 100       

b)  Bestäm  lg 0,01  
   

 

Uppgift:     
Här är grafen till funktionen  f(x) = 10x        ( kurvan  y = 10x    )

a)  Skriv in talet 100 i rutan och tryck på knappen Visa
De röda linjerna visar att om 10 upphöjs till 2 så blir resultatet 100
Det vill säga   lg 100 = 2

b)  Skriv in talet 10 i rutan och tryck på knappen Visa
De röda linjerna visar att om 10 upphöjs till 1 så blir resultatet 10
Tryck på knappen Ändra skala så syns det tydligare...
Vi ser att     lg 10 = 1

c)  Skriv in talet  5,0  i rutan och tryck på knappen Visa
De röda linjerna visar att om 10 upphöjs till  (ungefär)  0,6990    så blir resultatet 5
Det vill säga     lg 5  = 0,6990

 

Uppgift:      Bestäm med hjälp av kurvan ovan

a)   lg  83,3       

b)   lg 3         

c)    lg 0,5       

Svara med 4 decimaler

 

Uppgift:     Använd kurvan ovan för att lösa dessa uppgifter:

a)   Bestäm (med 4 decimaler)    x  så att  10x = 7,5        

b)   Lös ekvationen  10x = 83    (Svara med 4 decimaler) 
  

c)   Skriv talet 2 som en potens med basen 10.              
      (Ange exponenten som ett närmevärde med 4 decimaler)


Du bestämde ovan    lg 3   och fann följande:
  Eftersom  3   kan skrivas 100,4771    så är    lg 3  = 0,4771   

Helt allmänt kan vi uttrycka oss så här:    Om   a = 10 b    så  är   b = lg a

Faktum är att de båda likheterna   a = 10b   och    b = lg a    uttrycker exakt samma sak.
Då två utsagor uttrycker exakt samma sak brukar man tala om ekvivalens i matematiken.
Det finns en matematisk symbol för ekvivalens.  Den ser ut så här:      (en dubbelriktad pil)
Uttal:  "är ekvivalent med"

Vi kan nu definiera begreppet 10-logaritm så här:

a = 10b   ekvi.jpg (891 bytes) b =  log a

Alla positiva tal kan skrivas som ett potensuttryck med basen 10
Den exponent som vi upphöjer 10 till kallar vi talets 10-logaritm.
Kort sagt:   a = 10 log a

a = 10 log a  

 

Exempel:     
Skriv talet 2  som en potens med basen 10.   Svara i exakt form    
Svar:      2 = 10 lg2


Exempel:     
Skriv    2 x   som en potens med basen 10.    Svara i exakt form

    2 x = ( 10 lg2 ) x = 10 x lg2

Svar:        2 x =  10 x lg2

 

Uppgift:     
a)  Skriv talet 350  som en potens med basen 10.   Svara i exakt form        

b)  Skriv    1,12 x   som en potens med basen 10.   Svara i exakt form        

 

Logaritmer på miniräknaren
De flesta miniräknare har en knapp som ser ut så här:   log.jpg (1200 bytes)       (eventuellt så här: lg.jpg (984 bytes) )
Den används för att beräkna 10-logaritmer.

Om du ska beräkna    lg 83,3   så skriver du    83.3 på räknaren och trycker sedan på  log.jpg (1200 bytes)
så visas svaret.

På en del räknare trycker man  först på knappen log.jpg (1200 bytes), sedan skriver man 83.3 och slutligen trycker man på en knapp märkt EXE (eller liknande) så visas svaret.

Lär dig hur man beräknar logaritmer på din egen räknare!

Om du  inte har en miniräknare till hands kan du använda den som finns länkad i Gemensamma Ma resurser sidan eller Windows inbyggda räknare i avancerad läge.

Uppgift:      Använd en miniräknare för att bestämma

a)   lg  83,3       

b)   lg 3     

c)   lg 0,5        

d)   lg 3000   


Lös ekvationer med logaritmer!

Exempel:     
Lös ekvationen    10x = 7         Svara med 3 decimaler

Lösning:

10x   =   7
10x   =   10 lg 7
     =   lg 7
   x »  0,8451

Svar :  x » 0,845

I ovanstående exempel kan vi direkt ur 10-logaritmens definition se att x   =  lg7
Sedan tar du fram ett närmevärde på miniräknaren.

Om potensuttrycket inte har 10 som bas kan vi skriva om det så att basen blir 10.
Se här:

Exempel:      
Lös ekvationen       
1,2 x  =  46
Svara med 3 värdesiffror.

Lösning:

Ekvation: 1,2 x  =  46
Skriv 1,2 som en 10-potens
och 46 som en 10-potens
(10 lg 1,2)x  =  10 lg 46
Skriv vänsterledet utan parentes.
Du minns väl regeln  (am)n = amn
10 x × lg 1,2  =  10 lg 46
Basen är 10  i både vänster och höger led.  Vänstra och högra ledet är lika. Då måste exponenterna vara lika! x × lg 1,2  =  lg 46
Dela med   lg1,2  på båda sidor x  =  lg 46 / lg 1,2
Beräkna ett närmevärde på dosan

Avrunda till 3 värdesiffror.
x  »   20,999

x  »  21,0

Svar:   x » 21,0

 

Exempel:      
Lös ekvationen                     
5 × 1,2 2x  =  46
Svara med 2 värdesiffror.

Lösning:

Ekvation: 5 × 1,2 2x  =  46
Dela med 5 på båda sidor: 1,2 2x  =  9,2
Skriv 1,2 som en 10-potens
och 9,2 som en 10-potens
(10 lg 1,2)2x  =  10 lg 9,2
Skriv vänsterledet utan parentes.
Använd  regeln  (am)n = amn
10 2x × lg 1,2  =  10 lg 9,2
Samma bas i vänster och höger led. Exponenterna är lika! 2 x × lg 1,2    =   lg 9,2
Lös ut x
(Dela med   2 × lg 1,2   på båda sidor )
F1_28.jpg (3673 bytes)
Beräkna ett närmevärde

Avrunda till 2 värdesiffror.
x  »   6,086

x  »  6,1

Svar:   x » 6,1


Här är ett exempel med ett kapital som växer med 5% "ränta på ränta"

Exempel:     
Per har placerat 5000 kronor så att kapitalet växer med  5% per år.
Kapital ...
   efter 1 år:      5000 × 1,05       =  5250
   efter 2 år:      5000 × 1,05 2     =   5512,50
   efter 3 år:      5000 × 1,05 3     =   5788,125
osv

Efter hur lång tid är kapitalet  19600 kronor?

Lösning:

Antag att det dröjer x år tills kapitalet är 19600 kronor.
Ekvation: 5000 × 1,05 x  =  19600
Dela med 5000 1,05 x  =  3,92
Skriv båda leden som potenser av 10 (10 lg 1,05)x  =  10 lg 3,92
Skriv vänsterledet utan parentes 10 x × lg 1,05  =  10 lg 3,92
Sätt exponenterna lika x × lg 1,05  =  lg 3,92
Lös ut x x  =  lg 3,92 / lg 1,05
Beräkna närmevärde x  »  27,9993

Test:     5000 × 1,05 28 »  19600,65

Svar: Det dröjer 28 år innan kapitalet är 19600 kronor.

 

Uppgift:     

a)   Lös ekvationen    10x = 35        Svara med 3 decimaler  

b)   Lös ekvationen    6x = 89        Svara med 3 decimaler   

c)   Lös ekvationen    1,5 3x = 26        Svara med 2 decimaler
   

d)   Lös ekvationen    4 × 1,08 x = 1200        Svara med 2 decimaler   
   

 

Uppgift:     

Ett kapital, 2000 kronor, växer med 8% årlig ränta.
Hur många år dröjer det tills kapitalet 20000 kronor ?  

   

 

 

Kapitlet om  Exponentialfunktioner och logaritmer avslutas nu med de båda avsnitten

           "Exponentialfunktioner med basen eoch "Naturliga logaritmer"

Läs igenom avsnitten nu, så att du får en första orientering om talet e
och om e-logaritmer.
Efter att vi lärt oss mer om kurvors lutning och om derivator ska vi återvända till de här båda avsnitten för noggrannare studier.

Exponentialfunktioner med basen e

Om rationella och irrationella tal
Tal som kan uttryckas med ett heltal eller ett bråk  kallas rationella tal
Exempel:      25       - 67       1/3       5/7       7/10       0,7      är alla rationella tal.

Det finns tal som inte kan uttryckas som ett bråk.  Sådana tal kallas irrationella tal.
Talet  p   (pi) är ett irrationellt   tal. 
Detta tal uttrycker kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter.
Omkrets =    p · diameter är ju en välbekant formel...

Hur stort är då   p?
p = 3,141592654................. (oändligt många decimaler)

När vi räknar med  p  använder vi närmevärden. 
p » 3,14 är vanligt när vi räknar för hand.
Miniräknaren ger betydligt fler decimaler. 
Men hur många decimaler vi än använder så kan vi aldrig uttrycka p exakt.

Fler exempel på irrationella tal:

f4_5.jpg (6121 bytes)

   e  »  2,718     (se nedan)


Talet e

Det är vanligt att exponentialfunktioner har talet e som bas.

Exempel:     
f4_6.jpg (9228 bytes)  Grafen till funktionen 

         f(x) = e x

 

 


Talet e är ett irrationellt tal och är ett mycket viktigt tal i matematiken.  

Talet e  är ungefär  2,718  
Varför just detta värde? Varför använder man talet e?
Vi väntar med att besvara dessa frågor till dess vi har studerat begreppen kurvors lutning, tangent och derivata.



Naturliga logaritmer
I ett föregående avsnitt såg vi att vilket tal som helst kan skrivas som en potens av talet 10,
och den exponent som vi ska upphöja 10 till kallas 10-logaritmen för talet.

På samma sätt:
Vilket tal som helst kan skrivas som en potens av talet e,
och den exponent som vi ska upphöja e till kallas e-logaritmen för talet.

Ett annat namn för e-logaritm är naturlig logaritm.

Definition:

Den exponent som man upphöjer  e  till för att få ett visst tal
kallas den  naturliga logaritmen för det önskade talet

10-logarimen skriver vi, som du minns,  förkortat   lg

Naturliga logaritmen skriver vi förkortat   ln

Så här kan vi då definiera naturliga logaritmen:

a = eb   ekvi.jpg (891 bytes) b =  ln a

Och följande gäller förstås:

a = e ln a  

 

Exempel:     
a)   Utgå från grafen till funktionen            f(x) = e x  
      och bestäm ett heltalsnärmevärde till     ln 20

f4_7.jpg (9666 bytes)

Vilket tal tal ska man upphöja  e  till så att man får   talet 20 ?

Utgå från 20 på y-axeln som den röda linjen visar och läs av på x-axeln.

Vi får att  e3  »  20

det vill säga    ln 20  » 3

Svar:   ln 20  » 3

 

b)    Bestäm ett närmevärde med 4 decimaler till   ln 20.
       Använd miniräknaren.

Miniräknaren har en knapp  f4_8.jpg (980 bytes)

Vi skriver 20 och trycker på  f4_8.jpg (980 bytes)
(På vissa räknare trycker du f4_8.jpg (980 bytes) först, skriver 20 och trycker EXE eller liknande)

Räknaren svarar 2.995732.....

Svar:   ln 20  » 2,9957  

 

Uppgift:     

a)  Utgå från kurvan i ovanstående exempel.
     Försök att bestämma ett närmevärde till  ln 5     (med 1 decimal) 

b)  Kontrollera på miniräknaren 

 

Uppgift:     Använd miniräknare för att bestämma

a)   ln  83,3       

b)   ln 3           

c)    ln 0,5       

Svara med 4 decimaler

 

Uppgift:     Använd miniräknare.

a)   Bestäm (med 4 decimaler)    x  så att  ex = 7,5        

b)   Lös ekvationen  ex = 40    (Svara med 4 decimaler) 
  

c)   Skriv talet 2 som en potens med basen e.              
      (Ange exponenten som ett närmevärde med 4 decimaler)

 

Uppgift:    Svara exakt:

a)   Bestäm   ln e        

b)  Bestäm    ln e 2     
  

c)   Skriv talet 2 som en potens med basen e.              

d)   Skriv talet 2x    som en potens med basen e.          

 

Exempel:      
Lös ekvationen       
1,2 x  =  46
Svara med 3 värdesiffror.

Lösning:

Ekvation: 1,2 x  =  46
Skriv 1,2 som en potens av talet e
och 46 som en potens av talet e
(e ln 1,2)x  =  e ln 46
Skriv vänsterledet utan parentes.
Du minns väl regeln  (am)n = amn
e x × ln 1,2  =  e ln 46
Basen är e  i både vänster och höger led.  Vänstra och högra ledet är lika. Då måste exponenterna vara lika! x × ln 1,2  =  ln 46
Dela med   ln1,2  på båda sidor x  =  ln 46 / ln 1,2
Beräkna ett närmevärde på dosan

Avrunda till 3 värdesiffror.
x  »   20,999

x  »  21,0

Svar:   x » 21,0

 

Uppgift:      Utnyttja naturliga logaritmer:

a)   Lös ekvationen    ex = 21        Svara med 3 decimaler  

b)   Lös ekvationen    6x = 78        Svara med 3 decimaler   

c)   Lös ekvationen    1,5 3x = 32        Svara med 3 decimaler
   

d)   Lös ekvationen    3 × 1,08 x = 1200        Svara med 2 decimaler