Parentesräkning

Parenteser används i matematiska uttryck för att markera att dess innehåll utgör en enhet som måste beräknas innan man beräknar saker utanför parentesen.

Men om man följer vissa regler kan man ta bort parenteserna och ändå få rätt svar.

Distributiva lagen

"Distribution" är processen att fördela eller sprida ut något. När man har något gånger en parentes så sprider man ut det på alla termer i parentesen.

Mera exempel:

3·(5x +2y +1) = + 3·5x +3·(+2y) + 3·(+1) = 15x +6y +3
Vilket kan vara onödigt omständligt skrivet men hjälper dig tänka rätt i knepigare fall:

3·(5x -2y +1) = +3·5x +3·(-2y) +3·(+1) = 15x -6y +3

-3·(5x -2y +1) = -3·5x -3·(-2y) -3·(+1) = - 15x +6y -3

Se till att du hänger med på alla + och - tecken här. Annars kolla med läraren!

Det innebär att om man har ett minus tecken framför en parentes så byter du tecken på varje term när du tar bort parentesen:

- ( 2x -y +z) = -(+2x) - (-y) - (+z) = -2x + y - z

Produkten av två parenteser

rektangel med sidorna (x+3) och (x+4)Man kan tänka sig produkten som arean av en rektangel där parenteserna utgör längderna av de vinkelräta sidorna. Varje term utgör en bit av en sida och summan av bitarna blir längden av sidan. Bilden till höger visar (x + 3)(x + 4).

Man ser att det uppstår 4 små rektanglar vars area är produkten av en bit från en parentes(par) och en bit från den(-t) andra parentes(paret). Summan av de 4 små är samma som arean av hela stora rektangeln.

Man kan beräkna det så här:

Om det skulle finnas ett negativt tecken i en parentes är det lite svårare att tolka geometrisk (men se nedan) men man kan räkna på motsvarande sätt:

Om det finns flera termer i parenteserna gäller samma regel:

(a + b +c)(d + e + f) = ad + ae + af + bd + be + bf + cd + de + cf

Om man har flera parenteser kan man ta två först för att få de i en parentes och sedan ta den parentes gånger nästa parentes:

(a+b)(c+d)(e+f) = (ac +ad +bc +bd)(e+f) = (ace +ade +bce +bde +acf +adf +bcf +bdf)

De andra regler är bara specialfall:

(a+b)2 = (a+b)(a+b) = aa + ab +ba +bb men då ab = ba kan man skriva det som:
(a+b)2 = a2 + 2ab +b2

(a-b)2 = (a-b)(a-b) = aa - ab -ba +(-b)(-b) men då ab = ba och (-b)(-b)=b2 kan man skriva det som:
(a-b)2 = a2 - 2ab +b2

(a+b)(a-b) = aa - ab +ba +(-b)(-b) men då ab = ba och (-b)(-b)=b2 kan man skriva det som:
(a+b)(a-b) = a2 - b2         (konjugat regeln)

Kan man tolka minus i en parentes bildligt?

Konjugat regeln innehåller ett minus tecken. Nedanstående exempel visar ett sätt att tolka det med rektanglar.

 

Andra gemensamma  Matematik resurser

Andra gemensamma resurser (fysik, Internet, osv)

Helt nöjd med denna sida? Jaså inte!